Ekspansi Binomial Dari (X+Y)4 Adalah

Identifikasi Istilah Tidak Bergantung

Istilah yang tidak bergantung dalam ekspansi binomial adalah istilah yang tidak mengandung variabel x. Dengan kata lain, ini adalah istilah yang menghasilkan bilangan tetap. Untuk mengidentifikasi istilah ini, kita perlu mencari kondisi di mana eksponen x bernilai nol, yaitu, jumlah dari eksponen x dalam berbagai faktor ekspresi harus sama dengan nol.

Dalam konteks rumus Pernyataan Newton, istilah umum dari ekspansi diberikan oleh C(n, k) * (a)^(n-k) * (b)^k. Jika kita mengganti istilah a dan b dengan ekspresi yang melibatkan x, kita dapat menentukan istilah tidak bergantung dengan memverifikasi kondisi di mana jumlah eksponen x adalah nol. Sebagai contoh, dalam ekspansi (x + 2/x)^2, kita perlu mencari istilah di mana jumlah eksponen x adalah nol: (x)^(2-k) * (2/x)^k. Agar istilah tersebut tidak bergantung pada x, kita harus memiliki 2 - k - k = 0, yang memberikan kita k = 1.

Mengidentifikasi istilah tidak bergantung adalah penting dalam banyak aplikasi praktis, seperti dalam analisis risiko dan pembangunan model keuangan, di mana diperlukan perhitungan nilai tetap yang dihasilkan dari ekspresi polinomial kompleks.

Istilah tidak bergantung tidak mengandung variabel x.

Harus menemukan kondisi di mana jumlah eksponen x adalah nol.

Penting untuk aplikasi praktis seperti analisis risiko dan model keuangan.

Kata-kata di KBBI yang dekat dari ekspansi

Tip: doubleclick kata di atas untuk mencari cepat

[ekspansi] Arti ekspansi di KBBI adalah: perluasan wilayah suatu negara dengan menduduki (sebagian atau seluruhnya).... Contoh: dalam Perang Dunia II beberapa.... Lihat arti dan definisi di jagokata.

Database utama KBBI merupakan Hak Cipta Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa, Kemdikbud (Pusat Bahasa)

Blog Koma – Sebelumnya kita telah belajar materi “Kombinasi pada Peluang dan Contohnya” yang merupakan bagian dari kaidah pencacahan. Ternyata konsep kombinasi bisa dikembangkan pada pembahasan Binomial. Pada artikel kali ini kita akan membahas lebih spesipik tentang Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton). Binomial Newton mempelajari tentang cara penjabaran(ekspansi) bentuk pangkat aljabar yang terdiri dari dua suku (binomial).

Untuk menjabarkan bentuk pangkat aljabar dua suku bisa menggunakan sigitiga Pascal seperti berikut ini :

Dari bentuk segitiga pascal tersebut dapat membantu dalam penjabaran pangkat dua suku berikut dimana angka-angka pada segitiga pascal merupakan koefisien dari setiap sukunya: $ \begin{align} (a+b)^0 & = 1 \\ (a+b)^1 & = a + b \\ (a+b)^2 & = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a+b)^3 & = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a+b)^4 & = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + y^4 \\ (a+b)^5 & = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \\ (a+b)^n & = ….. \end{align} $

Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien binomial yaitu dengan menggunakan Konsep kombinasi $ C_r^n \, $ yang dinamakan Binomial Newton (Ekspansi Binomial), sehingga segitiga pascal dapat ditulis sebagai berikut.

Contoh Soal Binomial Newton (Ekspansi Binomial) :

Untuk memudahkan menghitung bentuk kombinasi, silahkan baca materi kombinasi pada artikel “kombinasi pada peluang“.

1). Jabarkan bentuk binomial berikut ini: a). $ (x+2)^4 $ b). $ (2a + 3b)^3 $ c). $ (a – 2b)^3 $ d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 $ Penyelesaian : a). $ (x+2)^4 \, $ artinya $ n = 4 $ $ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ (x+2)^4 & = \displaystyle \sum_{r=0}^4 C_r^4 x^{4-r}2^r \\ & = C_0^4 x^{4-0}2^0 + C_1^4 x^{4-1}2^1 + C_2^4 x^{4-2}2^2 + C_3^4 x^{4-3}2^3 + C_4^4 x^{4-4}2^4 \\ & = 1. x^{4}.1 + 4. x^{3}.2 + 6. x^{2}.4 + 4. x^{1}.8 + 1. x^{0}.16 \\ (x+2)^4 & = x^{4} + 8x^{3} + 24 x^{2} + 32x + 16 \end{align} $

b). $ (2a + 3b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $ $ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (2a + 3b)^3 & = \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 (2a)^{3-r}(3b)^r \\ & = C_0^3 (2a)^{3-0}(3b)^0 + C_1^3 (2a)^{3-1}(3b)^1 + C_2^3 (2a)^{3-2}(3b)^2 + C_3^3 (2a)^{3-3}(3b)^3 \\ & = 1. (2a)^{3} .1 + 3. (2a)^{2}(3b) + 3. (2a)^{1}(3b)^2 + 1. (2a)^{0}(3b)^3 \\ & = 1. 2^3.a^3 .1 + 3. 2^2.a^2.(3b) + 3. (2a).3^2.b^2 + 1. 1.3^3.b^3 \\ (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $

c). $ (a – 2b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $ $ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (a-2b)^3 & = (a + (-2b))^3 \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 a^{3-r}(-2b)^r \\ & = C_0^3 a^{3-0}(-2b)^0 + C_1^3 a^{3-1}(-2b)^1 + C_2^3 a^{3-2}(-2b)^2 + C_3^3 a^{3-3}(-2b)^3 \\ & = 1. a^{3}.1 + 3. a^{2}(-2b) + 3. a^{1}(-2b)^2 + 1. a^{0}(-2b)^3 \\ & = a^{3} + 3. a^{2}(-2b) + 3. a.(-2)^2.b^2 + 1. 1.(-2)^3.b^3 \\ (a-2b)^3 & = a^{3} -6a^2b + 12ab^2 -8b^3 \end{align} $

d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 \, $ artinya $ n = 5 $ $ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = \displaystyle \sum_{r=0}^5 C_r^5 x^{5-r} \left( \frac{2}{x} \right)^r \\ & = C_0^5 x^{5-0} \left( \frac{2}{x} \right)^0 + C_1^5 x^{5-1} \left( \frac{2}{x} \right)^1 + C_2^5 x^{5-2} \left( \frac{2}{x} \right)^2 \\ & + C_3^5 x^{5-3} \left( \frac{2}{x} \right)^3 + C_4^5 x^{5-4} \left( \frac{2}{x} \right)^4 + C_5^5 x^{5-5} \left( \frac{2}{x} \right)^5 \\ & = 1. x^{5} .1 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{2^2}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{2^3}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{2^4}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{2^5}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{4}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{8}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{16}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x^{1} \\ & + 80 \left( \frac{1}{x} \right) + 80 \left( \frac{1}{x^3} \right) + \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x + \frac{80}{x} + \frac{80}{x^3} + \frac{32}{x^5} \end{align} $

Kata ekspansi termasuk kata apa?

Kata ekspansi adalah Kata Nomina (kata benda).

Bagaimana cara mengucapkan ekspansi?

Seseorang mengucapkan ekspansi sebagai berikut: ékspansi.

Apa contoh kalimat menggunakan kata ekspansi?

Contoh kata ekspansi adalah: dalam Perang Dunia II beberapa negara Asia Tenggara telah menjadi sasaran politik ekspansi Jepang.

Menentukan Suku dan Koefisien Binomial

$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $

Maka suku ke-$k$ bentuk suku banyak hasil penjabarannya dapat ditentukan dengan rumus : Suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $.

Misalkan ada bentuk $ (2a + 3b)^3 \, $ yang bisa dijabarkan menjadi : $ \begin{align} (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $ Suku-suku dari ekspansi binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah : Suku ke-1 : $ \begin{align} 8a^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 8. Suku ke-2 : $ \begin{align} 36a^2b \end{align} \, $ dengan koefisiennya 36. Suku ke-3 : $ \begin{align} 54ab^2 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 54. Suku ke-4 : $ \begin{align} 27b^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 27. Tentu kita tidak perlu menjabarkan sejara keseluruhan suku-sukunya jika hanya menentukan suku tertentu saja. Misalkan kita ingin mencari suku ke-2 dari bentuk binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ , maka kita peroleh : Suku ke-2 dengan $ k = 2 $ : $ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}y^{k-1} & = C_{(2-1)}^3 (2a)^{3-(2-1)}(3b)^{2-1} \\ & = C_{1}^3 (2a)^{2}(3b)^{1} \\ & = 3. 4.a^2 .3b = 36a^2b \end{align} $. artinya suke ke-2 dari binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah $ 36a^2b \, $ yang sesuai dengan bentuk di atasnya.

Contoh soal koefisien binomial : 2). Tentukan suku ke-3 dari binomial $ (2x – 5y)^{20} \, $ dan besar koefisiennya. Penyelesaian : *). Bentuk binomialnya : $ (2x – 5y)^{20} \, $ artinya $ n = 20 $. *). Yang diminta suku ke-3 artinya $ k = 3 $. Rumus suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $ . Suku ke-2 yaitu dari $ (2x – 5y)^{20} = (2x + (- 5y))^{20} \, $ : $ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(3-1)}^{20} (2x)^{20-(3-1)}(-5y)^{3-1} \\ & = C_{2}^{20} (2x)^{18}(-5y)^{2} \\ & = \frac{20!}{(20-2)!2!} . 2^{18}.x^{18}(-5)^2.y^{2} \\ & = \frac{20!}{18!2!} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19.18!}{18!.2.1} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19}{2} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = 190 . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = (190 \times 2^{18} \times 25). x^{18}y^{2} \\ & = 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \end{align} $. Sehingga suku ke-3 dari $ (2x – 5y)^{20} \, $ adalah $ \, 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \, $ dengan koefisiennya adalah $ 4750 \times 2^{18} $.

Untuk soal nomor 3 dan nomor 4 berikut gunakan beberapa sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} \, $ dan $ \, a^m . a^n = a^{m+n} $

3). Diketahi bentuk binomial $ (3a + b)^{50} \, $. Tentukan koefisien dari suku yang berbentuk $ a^{26}b^{24} \, $ dan terletak pada suku ke berapakah suku tersebut. Penyelesaian : *). Bentuk $ (3a + b)^{50} \, $ , artinya $ n = 50 $. *). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ a^{26}b^{24} $. $ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \end{align} $. Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ k – 1 = 24 \rightarrow k = 25 $. Artinya bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah suku ke-25. *). Menentukan koefisien suku ke-25 dengan $ k = 25 $ dari bentuk $ (3a + b)^{50} \, $ $ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}x^{k-1} & = C_{(25-1)}^{50} (3a)^{50-(25-1)}(b)^{25-1} \\ & = C_{24}^{50} (3a)^{26}(b)^{24} \\ & = C_{24}^{50} 3^{26}a^{26}b^{24} \end{align} $. Jadi, koefisien dari bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah $ C_{24}^{50} \times 3^{26} $.

4). Diketahui bentuk binomial $ \left( x – \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ . Tentukan suku yang memuat bentuk $ x^{16} \, $ dan besar koefisiennya. Penyelesaian : *). Bentuk $ \left( x – \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ , artinya $ n = 2016 $. *). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ x^{16} $. Bentuk $ \left( x – \frac{1}{x} \right)^{2016} = \left( x + (- \frac{1}{x} ) \right)^{2016} \, $ artinya $ a = x \, $ dan $ b = – \frac{1}{x} = -x^{-1} $. $ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2016-(k-1)}\left( -x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2017-k} . (-1)^{k-1} . \left( x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2017-k} . \left( x \right)^{1-k} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{(2017-k)+(1-k)} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2018 – 2k} & = x^{16} \\ \end{align} $. Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ 2018 – 2k = 16 \rightarrow k = 1001 $. Artinya bentuk $ x^{16} \, $ adalah suku ke-1001. *). Menentukan koefisien suku ke-1001 dengan $ k = 1001 $ dari bentuk $ \left( x – \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ $ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(1001-1)}^{2016} (x)^{2016-(1001-1)}(-x^{-1})^{1001-1} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(-x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x)^{-1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016 + (-1000)} \\ & = C_{1000}^{2016} x^{16} \end{align} $. Jadi, koefisien dari bentuk $ x^{16} \, $ adalah $ C_{1000}^{2016} $.

Perhitungan Istilah Tidak Bergantung

Untuk menghitung istilah tidak bergantung dalam ekspansi binomial, kita perlu mengidentifikasi istlah mana dalam ekspansi yang memenuhi syarat memiliki eksponen x sama dengan nol. Menggunakan rumus Pernyataan Newton, kita dapat menentukan istilah dari ekspansi dan memeriksa mana di antara mereka yang memenuhi syarat sebagai istilah tidak bergantung.

Sebagai contoh, pertimbangkan ekspansi (x + 2/x)^2. Rumus Pernyataan Newton memberi kita: (x + 2/x)^2 = C(2, 0) * x^2 * (2/x)^0 + C(2, 1) * x^1 * (2/x)^1 + C(2, 2) * x^0 * (2/x)^2. Dengan menyederhanakan istilah, kita memperoleh: x^2 + 2 * x * (2/x) + 1 * (2/x)^2 = x^2 + 4 + 4/x^2. Di sini, istilah yang tidak bergantung adalah 4.

Kemampuan untuk menghitung istilah tidak bergantung adalah fundamental untuk menyelesaikan masalah matematis yang kompleks dan memiliki berbagai aplikasi praktis, seperti dalam penentuan nilai tetap dalam model matematis dan analisis deret waktu.

Identifikasi istilah yang memenuhi syarat eksponen nol dari x.

Gunakan rumus Pernyataan Newton untuk menentukan istilah dari ekspansi.

Fundamental untuk menyelesaikan masalah matematis kompleks dan aplikasi praktis.

Langkah-langkah Detail untuk Melakukan Aktivitas

Setelah menyelesaikan bagian praktis, setiap kelompok harus membuat laporan tertulis yang mencakup topik-topik berikut:

Siswa harus membuat kontekstualisasi dari topik "Jumlah Koefisien Binomial" dan relevansinya di dunia nyata. Selain itu, tujuan dari proyek ini harus dinyatakan dengan jelas.

Di bagian ini, siswa harus menjabarkan teori "Jumlah Koefisien Binomial". Mereka harus menjelaskan aktivitas yang dilakukan secara detail, menunjukkan metodologi yang digunakan dan terakhir, menyajikan dan mendiskusikan hasil yang didapat.

Siswa harus merefleksikan tentang pembelajaran utama yang didapat selama proyek dan aplikasi praktis dari teori yang dipelajari. Penting bagi siswa untuk tidak hanya menunjukkan penyelesaian masalah, tetapi juga bagaimana mereka bekerja sama untuk mencapai hasil.

Siswa harus mengutip semua sumber informasi yang digunakan untuk mempersiapkan proyek. Ini termasuk buku, situs web, video, dan lain-lain.

Laporan final harus diserahkan seminggu dari tanggal dimulainya proyek.

Kombinatorika - Ekspansi Binomial

Binomial Newton: Istilah Independen dari x | Ringkasan Tradisional

Pernyataan Newton adalah alat matematika yang kuat digunakan untuk memperluas ekspresi binomial yang dipangkatkan. Ekspansi ini penting dalam berbagai bidang matematika, seperti kombinatorika, probabilitas, dan statistik, dan juga memiliki aplikasi praktis dalam ilmu pengetahuan dan algoritma komputasi. Melalui rumus Pernyataan Newton, kita dapat mewakili secara terperinci ekspresi dari jenis (a + b)^n, di mana n adalah bilangan bulat tidak negatif, memungkinkan analisis mendetail dari istilah-istilah hasil ekspansi tersebut.

Dalam pelajaran ini, kami akan fokus secara khusus pada perhitungan istilah yang tidak bergantung pada x dalam ekspansi binomial. Istilah yang tidak bergantung adalah istilah yang tidak mengandung variabel x, sehingga merupakan bilangan tetap. Mengidentifikasi dan menghitung istilah ini adalah keterampilan krusial untuk menyelesaikan masalah matematis yang kompleks dan memiliki aplikasi praktis, seperti dalam analisis risiko dan pembangunan model keuangan. Memahami konsep ini akan memungkinkan siswa menerapkan pengetahuan dalam berbagai konteks di masa depan, baik akademis maupun profesional.

Materi yang Diperlukan